離散数学

Discrete Mathematics

専門教育科目／教職課程科目

［−］

工学部

2年

HETBK2MCA1

2単位

講義 (Lecture)

2024年度後期

上浦 尚武

工学研究科

日本語

目標9

木曜10:40〜12:10・6202研究室
(メールによる事前連絡が必要)

kamiura@eng.u-hyogo.ac.jp

3◎／4◎／5◎

ー

1-1◎／4-1〇／4-2〇

目標１:磨き続ける力

【講義目的】
　誕生から１００年も経過していないコンピュータではあるが、その進歩とともに、アルゴリズムとデータ構造、情報理論、言語理論、人工知能、暗号や符号理論などに代表されるコンピュータサイエンスも大きく発展している。離散数学は、微分積分学、線形代数といった従来の数学的手法では扱えない問題を解決するためのものとみなされ、整数のような離散的な値をとる集合を扱う数学の一分野で、コンピュータサイエンスの基礎をなす。本講義では、集合、関係、写像、再帰、論理、グラフ、代数系の基礎を学習するとともに、その応用例に関わる知識も修得する。
【達成目標】
　１）離散数学の基礎、とくに論理、ブール代数系、数え上げを習得し説明できること、２）それらを暗号系や離散的有限集合を対象にする確率に応用できること、である。

サブタイトル：コンピュータサイエンス特有の問題を解決するための基礎数学
キーワード：集合、関係と写像、順序関係、命題論理、述語論理、グラフ、整数、代数系、暗号、ブール代数

【講義内容】
　集合、関係、写像、再帰、論理、グラフ、整数論、ブール代数系、数え上げなどの離散数学の基本的事項について説明する。また、共通鍵、公開鍵、RSAなどの暗号系や確率に基づくメッセージ認証など、離散数学の直接的な応用の一部についても述べる。
【授業計画】
1. 集合（テキスト第１章、キーワード：集合、共通集合、和集合、べき集合）
2. 関係と写像（テキスト第２章、キーワード：直積、関係、同値関係、写像）
3. 順序関係（テキスト第３章、キーワード：半順序関係、極大、極小）
4. 背理法, 帰納法および再帰（テキスト第４章、キーワード：背理法、数学的帰納法、ペアノの公理系、再帰的定義）
5. 命題論理と述語論理（その１）（テキスト第５章、キーワード：命題論理、トートロジー、論理積標準形、論理和標準形）
6. 述語論理と述語論理（その２）（テキスト第５章、キーワード：双対定理、述語論理、ド・モルガンの法則）
7.  中間まとめ
8. グラフ（テキスト第６章、キーワード：グラフ理論、オイラー閉路、ハミルトン閉路）
9.  木（テキスト第７章、キーワード：木、全域木、根付き木）
10. 整数（テキスト第８章、キーワード：最大公約数、ユークリッドの互除法、フェルマーの小定理）
11. 代数系（その１）（テキスト第９章、キーワード：群）
12. 代数系（その２）（テキスト第９章、キーワード：環、体）
13. 数え上げと確率（テキスト第11章、キーワード：順列、組合わせ、２項係数、包除定理、鳩の巣原理、確率、確率変数）
14. RSA公開鍵暗号（テキスト第10章、キーワード：共通鍵暗号系、公開鍵暗号系、RSA暗号、メッセージ認証）
15. ブール代数系（口述のためテキスト該当章なし、キーワード：上界、下界、束、ブール代数）

生成系AIの利用：
生成系AIの利用については教員の指示に従うこと。生成系AIによる出力結果をそのまま課題レポートとして提出してはいけない。生成系AIによる出力をそのまま提出したことが判明した場合は単位を認定しない、又は認定を取り消すことがある。

工学のための離散数学 数理工学社 黒沢　馨 著(生協で購入する)

情報の論理数学入門　近代科学社　小倉久和・高濱徹行　共著（姫路学術情報館にあり）

【予習】授業に際して指示するテキスト・オンデマンド教材の部分を事前読み込み（28ｈ）
【復習】講義内容の理解を深め定着させるためにテキスト・オンデマンド教材を読み直し（14ｈ）、配布プリントの解答（18h)

採用しない

【成績評価の基準】
　集合、関係、写像、再帰、論理、グラフ、整数論、ブール代数系、数え上げなどの基本的事項について理解し、それらを共通鍵、公開鍵、RSAなどの暗号系や確率に基づくメッセージ認証などに応用できる能力（知識、思考力、計算力）の到達度に基づき、S(90点以上)、A(80点以上)、B(70点以上)、C(60点以上)による成績評価のうえ、単位を付与する。
【成績評価の方法】
　授業計画の項目１から6について中間試験を11月中旬に行う。期末試験は２月上旬に行い、項目8から15を主な範囲として出題する。中間試験50%、期末試験50%を基準として、受講態度（プリント提出状況、積極的な質問等）を含めて総合的に評価する。

毎回講義時にプリントをユニバーサルパスポートのクラスプロファイル機能を使って公開し、その解答もクラスプロファイル機能を使って公開するとともに、講義内で解説する。
定期試験は、全体的な講評や模範解答をユニバーサルパスポートのクラスプロファイル機能を使って示す。

病気等で授業を欠席する場合、診断書（原本、コピー可）、病院の領収書等を提出すること。講義内容の理解を深めるために、教科書に記載されている例題や演習問題 を利用して各自で演習すること。

該当しない

電気、電子、情報分野の広い知識と特化した分野の知識
多種多様な分野に対応できる能力