位相解析

Topological Analysis

専門教育科目／教職課程科目

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理学部

3年

HSSBM3MCA1

2.0単位

講義 (Lecture)

2024年度後期

平野 克博

理学研究科

日本語

目標9

授業終了後、講義室で行う。

hirano@sci.u-hyogo.ac.jp

5◎／1〇

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1-1◎

目標１:磨き続ける力

講義目的：数学における基本的概念である数列の収束、関数の連続性等を厳密に定義し、その習熟を目指す。さらにフーリエ級数の理論を理解するのが目的である。

到達目標：ε-δ論法を代表とする極限の厳密な取り扱いが出来る。及びフーリエ級数の諸定理が使える。

キーワード：ε-δ論法、実数の完備性、関数の一様連続性、フーリエ級数の収束、Besselの不等式、Riemann-Lebesgueの定理、Parsevalの等式

講義内容.　数学における基本的概念である数列の収束、関数の連続性等を厳密に定義し、それを基に解析学の重要な基本定理を述べる。さらに、それらを用いてフーリエ級数がどのような意味で収束し元の関数を復元するのかを学ぶ。

授業計画
  1. 上限・下限、数列の収束（ε-N論法）  
  2. Bolzano-Weierstrassの定理  
  3. コーシー列、実数の完備性  
  4. 関数の連続性（ε-δ論法）  
  5. 中間値の定理、最大値定理  
  6. 関数の一様連続性  
  7. フーリエ級数とは  
  8. ディリクレ核、フィエール核  
  9. フィエールの定理
10. フーリエ級数の収束I
11. 複素フーリエ級数、Besselの不等式
12. Riemann-Lebesgueの定理
13. フーリエ級数の収束II（区分的に滑らかな関数の場合）
14. フーリエ級数の収束III（L^2 収束）
15. Parsevalの等式

この授業においては生成AIの利用を予定していないが、学生が利用する場合には参考文献が実在するかなど事実確認を必ず行うこと。

特に指定しないが、以下の参考書の該当部分がそれに当たる。

「解析入門Ｖ」（第１章）藤田宏、岩波書店
「現代解析入門」（第１章）藤田宏・吉田耕作、岩波書店

【予習】講義前にテキストを読み、定理の意味を理解し証明の概略をつかむ。（15h）
【復習】講義内容の理解を深める為に証明の完全な理解に努める。また、演習問題を自力で解いてみる。（45ｈ）

詳細は第一回の講義で発表する。

採用しない

[成績評価の基準]
S（90点以上）、A（80 点以上）、B（70 点以上）、C（60 点以上）による成績評価のうえ、単位を付与する。

[成績評価の方法]
講義中に与える課題50％、レポート50％の割合で評価する。
詳細は第1回の講義で発表する。

レポートは採点のあと返却する。模範解答は授業中に（またはuniversal passportを通じて）提示する。
詳細は第1回の講義で発表する。

関数解析と併せての履修を強く勧める。　
微分積分学I・II、線形代数学I・IIの単位を取得していることが望ましい。

該当しない。