離散数学

Discrete Mathematics

専門教育科目／教職課程科目

［−］

工学部

1年

HETBA1MCA1

2.00単位

講義 (Lecture)

2026年度後期

(Fall semester)

上浦 尚武

工学研究科

日本語

目標9

オフィスアワー：随時、ただし、mailによる事前連絡要（上浦）
場所：書写6202（上浦）

kamiura@eng.u-hyogo.ac.jp (上浦)

2◎／1〇／4〇

ー

1-1◎／4-1〇／4-2〇

目標１:磨き続ける力

【講義目的・テーマ】
 誕生から１００年も経過していないコンピュータではあるが、その進歩とともに、アルゴリズムとデータ構造、情報理論、言語理論、人工知能、暗号や符号理論などに代表されるコンピュータサイエンスも大きく発展している。離散数学は、微分積分学、線形代数といった従来の数学的手法では扱えない問題を解決するためのものとみなされ、整数のような離散的な値をとる集合を扱う数学の一分野で、コンピュータサイエンスの基礎をなす。本講義では、集合、 関係、写像、再帰、論理、グラフ、代数系の基礎を学習するとともに、その応用例に関わる知識も修得する。
【到達目標】
 離散数学の基礎、とくに論理、ブール代数系、数え上げを習得し説明できること、それらを暗号系や離散的有限集合を対象にする確率に応用できること、である。

サブタイトル：コンピュータサイエンス特有の問題を解決するための基礎数学
キーワード：集合、関係と写像、順序関係、命題論理、述語論理、グラフ、整数、代数系、暗号、ブール代数

【講義内容】
　集合、関係、写像、再帰、論理、グラフ、整数論、ブール代数系、数え上げなどの離散数学の基本的事項について説明するとともに、それらが現在の情報工学においてどのように基盤となっているか論じる。また、共通鍵、公開鍵、RSAなどの暗号系や確率に基づくメッセージ認証など、離散数学の直接的な応用の一部についても述べる。
【授業計画】
1. 集合（テキスト第１章、キーワード：集合、共通集合、和集合、べき集合）
2. 関係と写像（テキスト第２章、キーワード：直積、関係、同値関係、写像）
3. 順序関係（テキスト第３章、キーワード：半順序関係、極大、極小）
4. 背理法, 帰納法および再帰（テキスト第４章、キーワード：背理法、数学的帰納法、ペアノの公理系、再帰的定義）
5. 命題論理（テキスト第５章、キーワード：命題論理、トートロジー、論理積標準形、論理和標準形）
6. 述語論理（テキスト第５章、キーワード：双対定理、述語論理、ド・モルガンの法則）
7.  まとめの演習（第６回までの演習問題を解き、解答解説により到達レベルを自己確認）
8. グラフ（テキスト第６章、キーワード：グラフ理論、オイラー閉路、ハミルトン閉路）
9.  木（テキスト第７章、キーワード：木、全域木、根付き木）
10. 整数（テキスト第８章、キーワード：最大公約数、ユークリッドの互除法、フェルマーの小定理）
11. 代数系（群）（テキスト第９章、キーワード：群）
12. 代数系（環、体）（テキスト第９章、キーワード：環、体）
13. 数え上げと確率（テキスト第11章、キーワード：順列、組合わせ、２項係数、包除定理、鳩の巣原理、確率、確率変数）
14. RSA公開鍵暗号（テキスト第10章、キーワード：共通鍵暗号系、公開鍵暗号系、RSA暗号、メッセージ認証）
15. ブール代数系（口述のためテキスト該当章なし、キーワード：上界、下界、束、ブール代数）
定期試験

対面

利用する場面を限定し許可

「⽣成ＡＩの利⽤にあたっては『本学の教育における⽣成ＡＩの取扱いについて（学⽣向け）』の記載内容について留意すること。この講義においては、以下の範囲において、⽣成ＡＩの利⽤を許可し、これ以外の範囲での利⽤は禁⽌する。⽣成ＡＩの利⽤については担当教員の指⽰に従うこと。教員が認める範囲を超えて⽣成ＡＩを利⽤したことが判明した場合は、単位を認定しない、または認定を取り消すことがある。⽣成ＡＩの出⼒した内容について、事実関係の確認や出典・参考⽂献を確認・追記することが重要である。また、⽣成ＡＩによる出⼒結果をそのまま課題・レポートとして提出してはならない。さらに，担当教員の許可なく講義資料の全部または⼀部を電⼦ファイルまたは画像等として⽣成ＡＩに⼊⼒することを禁⽌する。
(利⽤可の範囲)
利⽤許容範囲については、担当教員より提⽰される条件に従うものとする。

工学のための離散数学[第2版]（黒沢 馨 著、数理工学社）(生協で購入する)

情報の論理数学入門（小倉久和・高濱徹行 共著、近代科学社）（姫路学術情報館にあり）および授業中に適宜配布する資料

【予習】授業に際して指示するテキスト・オンデマンド教材の部分を事前読み込み（30ｈ）
【復習】講義内容の理解を深め定着させるためにテキスト・オンデマンド教材を読み直し（12ｈ）、配布プリントの解答（18h)

採用しない

【成績評価の基準】
集合、関係、写像、再帰、論理、グラフ、整数論、ブール代数系、数え上げなどの基本的事項について理解し、それらを共通鍵、公開鍵、RSAなどの暗号系や確率に基づくメッセージ認証などに応用できる能力（知識、思考力、計算力）の到達度に基づき、S(90点以上)、A(80点以上)、B(70点以上)、C(60点以上)による成績評価のうえ、単位を付与する。定期試験（50％）、中間演習（50％）。
【成績評価の方法】
授業計画の項目１から6について中間試験を11月中旬に行う。期末試験は２月上旬に行い、項目8から15を主な範囲として出題する。中間試験50%、期末試験50%を基準として、総合的に評価する。

毎回講義時にプリントをユニバーサルパスポートのクラスプロファイル機能を使って公開し、その解答もクラスプロファイル機能を使って公開するとともに、講義内で解説する。
定期試験は、全体的な講評や模範解答を講義内で解説する。

講義内容の理解を深めるために、教科書に記載されている例題や演習問題 を利用して各自で演習すること。

該当しない

電気、電子、情報分野の広い知識と特化した分野の知識
多種多様な分野に対応できる能力